Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea

Na primeira parte da série falei sobre a Sequência de Fibonacci e o problema da população de coelhos. Agora falarei sobre a Proporção Áurea, que está diretamente relacionada aos números descritos anteriormente.

• Fibonacci, Parte 1: A sequência de Fibonacci e os coelhos.
• Fibonacci, Parte 2: A Proporção Áurea.
• Fibonacci, Parte 3 (final): Programação, o universo e tudo mais.

A Proporção Áurea

Como observado por Johannes Kepler (mais um do legislativo), a divisão entre um elemento da sequência de Fibonacci e seu antecessor tende a se aproximar da Proporção Áurea ($\varphi$). Assim como 8 está para 5, 13 está para 8, 21 está para 13 e $F(n+1)$ está para $F(n)$. Por exemplo: utilizando o 42° elemento, a divisão seria: $\frac{F(41)}{F(40)}$. Porém, a Proporção Áurea pode ser calculada algebricamente, como explicarei abaixo.

Como é calculada?

Algebricamente, calculamos a Proporção Áurea tomando como base duas medidas: a e b. Utilizando dois segmentos de retas, podemos obter a seguinte imagem:

As razões $\frac{a+b}{a}$ e $\frac{a}{b}$ são iguais e constantes, e chamamos esse valor de Proporção Áurea (símbolo: $\varphi$). A equação obtida é:

$$\begin{equation} \tag{1}\label{eq:simples}
\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi
\end{equation}$$

Para encontramos o valor de $\varphi$, devemos simplificar a primeira parte da equação: $\frac{a+b}{a}=\frac{a}{a}+\frac{b}{a}=1+\frac{b}{a}$. Além disso, a partir da equação \eqref{eq:simples}, temos: $\frac{b}{a}=\frac{1}{\varphi}$ (o inverso). Substituindo os novos valores em \eqref{eq:simples}, obtemos:

$$\begin{equation} \tag{2}\label{eq:propaurea1}
1+\frac{1}{\varphi} = \varphi
\end{equation}$$

Podemos simplificá-la ainda mais: igualando os denominadores (multiplicando todos os itens por $\varphi$), obtendo $\varphi+1=\varphi^2$. Podemos organizá-la passando $\varphi^2$ para o lado esquerdo (ou “adicionando $-\varphi^2$ aos dois lados da equação”) e multiplicando toda a equação por $-1$, obtendo uma equação quadrática (de Segundo Grau):

$$\begin{equation} \tag{3}\label{eq:propaureaQ}
\varphi^2-\varphi-1=0
\end{equation}$$

Para obtermos o valor de $\varphi$ basta apenas usar a queridíssima Fórmula de Bhaskara, utilizando os valores $a=1$, $b=-1$ e $c=-1$:

\[\varphi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \]
\[\varphi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot{1}\cdot{(-1)}}}{2\cdot{1}}\ \]
\[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}\ \]
\[\varphi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\ \]

Como só nos interessa o valor positivo – você não vai querer ter uma medida negativa, vai? –, o resultado é:

$$\begin{equation} \tag{4}\label{eq:propaurea}
\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\, \approx 1.618033988749895
\end{equation}$$

O valor colocado acima é exatamente o arredondamento utilizando o tipo float em programação: $1.618033988749895$. Agora você está pronto para utilizá-la! Se você quer uma medida maior, basta multiplicar por $\approx 1.618$, se quiser uma menor, por $\approx 0.618$, como mostrado na imagem a seguir:

Onde podemos vê-la?

Como visto no vídeo acima, a proporção áurea pode ser encontrada em diversos locais na natureza, como em plantas, caracóis (espirais), abacaxis e corpo humano. A seguir, apresento uma galeria de imagens nas quais podemos ver a proporção áurea e os números de Fibonacci em ação. Divirta-se! 🙂

A Proporção Áurea no Web Design

Como mostrado na galeria acima, o Twitter fez uso da Proporção Áurea para o design de sua página. Como em qualquer outra arte visual, no Web Design também é possível fazer uso dela, utilizando o mesmo princípio de divisão em média e extrema razão. Caso esteja interessado, dê uma olhada nesses dois artigos:

• Applying Divine Proportion To Your Web Designs (Smashing Magazine)
• The Golden Ratio in Web Design (Nettuts+)

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Na terceira parte desta série darei detalhes de como gerar você mesmo a sequência de Fibonacci e a proporção áurea com Javascript, dando detalhes sobre alguns tipos de algaritmos. Além disso, encontrei algo interessante (ou não) sobre o número 42.

Então, não entre em pânico e aguarde a próxima parte! Você pode acompanhar pelo Twitter, Facebook ou pelo RSS.

Atualização: Não sei se a terceira parte irá sair, talvez um dia. Se eu conseguir um tempo extra e paciência, eu posto. 😉

Atualização 2 (20/06/2014): Mais de dois anos depois e ainda não sei se terá terceira parte. Pelo jeito não. A esperança é a última que morre!